Energy and random point processes on two-point homogeneous manifolds

Abstract

[eng] We study discrete energy minimization problems on two-point homogeneous manifolds. Since finding N-point configurations with optimal energy is highly challenging, recent approaches have involved examining random point processes with low expected energy to obtain good N- point configurations.

In Chapter 2, we compute the second joint intensity of the random point process given by the zeros of elliptic polynomials, which enables us to recover the expected logarithmic energy on the 2-dimensional sphere previously computed by Armentano, Beltrán, and Shub. Moreover, we obtain the expected Riesz s-energy, which is remarkably close to the conjectured optimal energy. The expected energy serves as a bound for the extremal s-energy, thereby improving upon the bounds derived from the study of the spherical ensemble by Alishahi and Zamani. Among other additional results, we get a closed expression for the expected separation distance between points sampled from the zeros of elliptic polynomials.

In Chapter 3, we explore the average discrepancies and worst-case errors of random point configurations on the d-dimensional sphere. We find that the points drawn from the so called spherical ensemble and the zeros of elliptic polynomials achieve optimal spherical L^2 cap discrepancy on average. Additionally, we provide an upper bound for the L^intiy discrepancy for N-point configurations drawn from the harmonic ensemble on any two-point homogeneous space, thereby generalizing the previous findings for the sphere by Beltrán, Marzo and Ortega- Cerdà. We introduce a nondeterministic version of the Quasi Monte Carlo (QMC) strength for random sequences of points and compute its value for the spherical ensemble, the zeros of elliptic polynomials, and the harmonic ensemble. Finally, we compare our results with the conjectured QMC strengths of certain deterministic distributions associated with these random point processes.

In Chapter 4, our focus hits to the Green energy minimization problem. Firstly, we extend the work by Beltrán and Lizarte on spheres to establish a close to sharp lower bound for the minimal Green energy on any two-point homogeneous manifold, improving on the existing lower bounds on projective spaces. Secondly, by adapting a method introduced by Wolff, we deduce an upper bound for the L^intiy discrepancy of N-point sets that minimize the Green energy.

[cat] Estudiem problemes de minimització d'energia discreta en varietats 2-punts homogènies. Com que trobar configuracions de N punts amb energia òptima és molt complicat, recentment s'ha explorat l'ús de processos de punts aleatoris amb baixa energia esperada com a mètode per obtenir bones configuracions de punts.

Al Capítol 2, calculem la segona intensitat conjunta del procés de punts aleatoris donat pels zeros de polinomis el·líptics, el que ens permet recuperar l'energia logarítmica esperada a l’esfera prèviament calculada per Armentano, Beltrán i Shub. A més, obtenim l'energia de Riesz esperada per a aquest procés, que és notablement propera a l'energia òptima conjecturada. L'energia esperada serveix com a fita per a l'energia extremal, millorant així les fites derivades de l'estudi d'Alishahi i Zamani del conjunt esfèric. Entre d'altres resultats addicionals, obtenim una expressió tancada per a la distància esperada de separació entre punts aleatoris donats pels zeros de polinomis el·líptics.

Al Capítol 3, explorem les discrepàncies mitjanes i els worst-case errors de configuracions aleatòries de punts a la d-esfera. Trobem que els punts extrets de l'anomenat conjunt esfèric i els zeros de polinomis el·líptics aconsegueixen discrepància L^2 òptima en mitjana. A més, proporcionem una cota superior de la discrepància L^infty per a configuracions de N punts obtinguts del conjunt harmònic en qualsevol espai 2-punts homogeni, generalitzant així els resultats previs per a la d-esfera obtinguts per Beltrán, Marzo i Ortega-Cerdà. Introduïm una versió no determinista del Quasi Monte Carlo (QMC) strength per a successions aleatòries de punts i calculem el seu valor per al conjunt esfèric, els zeros de polinomis el·líptics i el conjunt harmònic. Finalment, comparem els nostres resultats amb els QMC strengths conjecturats per a certes distribucions deterministes associades amb aquests processos de punts aleatoris.

Al Capítol 4, desplacem el focus al problema de minimització de l'energia de Green. En primer lloc, ampliem el treball de Beltrán i Lizarte en esferes per establir una fita inferior propera a l' òptima per a l'energia de Green mínima en qualsevol varietat 2-punts homogènia, millorant els resultats existents en espais projectius. En segon lloc, mitjançant l'adaptació d'un mètode introduït per Wolff, deduïm una cota superior de la discrepància L^\infty per a conjunts de N punts que minimitzen l'energia de Green.