Contribución al estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados

Abstract

[spa] Todos los anillos que se consideran son Conmutativos y Noetherianos. En torno y a partir de la Conjetura de Serre de Multiplicidades (1957) se ha desarrollado durante estos últimos 25 años una importante área de trabajo en el Álgebra Conmutativa que ha acabado denominándose Conjeturas Homológicas. De entre todas estas conjeturas una de las que mayor trascendencia ha tenido es la denominada de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, formulada por M. Hoschter en 1973 y que dice así:

Sea "A" un anillo local y a(1), .,a(n) un sistema de parámetros de A. Existente entonces un A-módulo M para el que a(1), .., a(n) es M-sucesión.

Se dice entonces que M es un gran módulo de Cohen-Macaulay respecto a a(1), ., a(n). La importancia de esta Conjetura proviene fundamentalmente de dos razones. Una la que tiene como consecuencia la mayoría de las restantes Conjecutras Homológicas, y otra que fue demostrada afirmativamente por el propio Hochster siempre que el anillo contenga un cuerpo, recubriendo así y también ampliando la mayoría de los resultados hasta entonces conocidos en este campo.

Los grandes módulos de Cohen-Macaulay no son por lo general de tipo finito, pues existen anillos de dimensión 2 para los que ningún gran módulo de Cohen-Macaulay puede ser de generación finita. De hecho la existencia para todo anillo completo A de un A-gran módulo de Cohen-Macaulay de tipo finito, es decir, de un gran módulo de Cohen-Macaulay con grado igual a la dimensión del anillo, constituye la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay, de la que muy poco se sabe. Resulta entonces que casi ninguna de las propiedades verificadas por los módulos de tipo finito pueden extenderse a los grandes módulos de Cohen-Macaulay; por ejemplo, existen anillos A de dimensión 2 y A-grandes módulos de Cohen-Macaulay M con M sucesiones que no conmutan.

Por otro lado, P. Grifith en 1975 y en un intento de demostrar la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay a partir de la de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, construye sobre los anillos completos A que contienen un cuerpo grandes módulos de Cohen-Macaulay M para los que todo sistema de parámetros de A es M-sucesión.

También M. Hochster demostró mediante una modificación de sus célebres "Modificaciones" que sobre todos los anillos que contienen un cuerpo existen tales Módulos de Cohen-Macaulay, pero son Bartjin y Strooker quienes en 1981 se dan cuenta de la abundancia de tales módulos al demostrar que el completado separado de todo gran módulo de Cohen-Macaulay verifica esta propiedad. Finalmente, R.Y. Sharp, quien los denomina "Grandes Módulos de Cohen-Macaulay Equilibrados", inicia un estudio sistemático con la idea base de que los grandes módulos de Cohen-Macaulay constituyen una buena generalización al caso no finito de la noción Cohen-Macaulay.

El objetivo de esta Memoria es entonces el estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados desde tres puntos de vista distintos:

- El del grado y la dimensión de Krull. - El de la conservación de la propiedad por extensión plana de escalares. - El de las propiedades nomológicas relacionadas con la dimensión inyectiva. Estas cuestiones constituyen respectivamente los capítulos 2º, 3º y 4º de esta Memoria. En cada caso mostramos las diferencias y anomalías que se producen respecto al caso de generación finita.

Dada la no finitud de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados es necesario utilizar métodos específicos en su estudio. Hacemos notar que en lo referente al grado se dispone de los métodos desarrollados recientemente por H.-B. Foxby en el contexto más general de su Teoría de Complejos y otros trabajos previos. Por el contrario, ha sido necesario desarrollarlos para aquellas cuestiones relacionadas con la dimensión de Krull, y en especial lo relativo a los sistemas de parámetros. Todo ello configura el primer capítulo de esta Memoria.

Deseo agradecer al Dr. Rafael Mallol, de quien recibí mis primeras lecciones de Álgebra Conmutativa, el haber aceptado de la Dirección de esta Memoria y el interés puesto en ella. Así mismo, debo agradecer al Dr. José María Giral toda su colaboración e inestimables consejos, especialmente durante el período de tiempo que fui becario de la Fundación Agustí Pedro i Pons de la Universidad de Barcelona y en el que se elaboró parte de esta Memoria.