Sobre el álgebra de las funciones enteras de orden acotado

Abstract

[spa] Numerosas álgebras de funciones, importantes en Análisis, se obtienen al imponer condiciones de crecimiento a funciones de un determinado espacio y dotarlas de una topología adecuada a dichas condiciones. Algunas veces se obtienen álgebras de Banach a las que es aplicable la teoría del Gelfand; otras veces son álgebras localmente multiplicativamente convexas, es decir espacios localmente convexos dotados de un producto continuo y que poseen una base de entornos m-convexos (convexos e ídem potentes para el producto), las cuales son límites proyectivos de álgebras normadas y a las que, en consecuencia, es aplicable la teoría citada, debidamente generalizada. Nosotros estudiaremos, aquí, un álgebra topológica de funciones analíticas que, por la naturaleza de las condiciones de crecimiento, no es límite de álgebras normadas, procurando poner de manifiesto las propiedades más generales que se manejan, para que el estudio sea utilizable para otras álgebras análogas.

En el Capítulo I se introduce el álgebra E(alfa) de las funciones enteras de orden menor o igual que alfa, dotada de una topología natural, y se establecen las propiedades de esta tipología que se necesitarán más adelante; topologías localmente convexas de este tipo y otras análogas habían sido ya consideradas por la literatura especializada, donde se establece el hecho que sean nucleares.

El Capítulo II trata a E(alfa) desde el punto de vista del álgebra, estableciendo en especial la continuidad de la derivación y del paso al inverso.

En el Capítulo III se considera el espacio de sucesiones asociado a E(alfa) probando que su topología normal coincide con la original y deduciendo de ello la densidad de los polinomios en E(alfa), lo que dice que el espectro de caracteres de esta álgebra es el plano complejo.

En el Capítulo IV se estudian las propiedades más ligadas a la naturaleza de las funciones de E(alfa): cuestiones de acotación y convergencia de productos infinitos y de la descomposición de Hadamard de estas funciones. Los resultados obtenidos se aplican a caracterizar los ideales cerrados de E(alfa) a través de sus ceros, obteniéndose en particular que el espectro de ideales maximales cerrados del álgebra coincide con el espectro de caracteres. La determinación de ideales cerrados había sido ya tratada para álgebras de funciones analíticas con condiciones de crecimiento.

En el Capítulo V se considera el problema de la interpolación de una sucesión dada por funciones de E(alfa); se introduce un álgebra de sucesiones dotada de una tipología análoga a la de E(alfa), en la que forzosamente han de estar las sucesiones interpolables y se prueba que tales sucesiones son densas en ella, así como en el espacio de todas las sucesión dotado de la tipología producto. Los métodos utilizados se aplican, también, a estudiar los cocientes del álgebra de las funciones enteras por un ideal cerrado.

El Capítulo VI empieza con algunas condiciones para que un álgebra topológica sea un álgebra de funciones enteras y pasa después a tratar los problemas de división e inversión de una sucesión convergente en tales álgebras, los cuales están ligados a la descripción de los ideales cerrados en álgebras satisfaciendo hipótesis análogas a las propiedades estudiadas en E(alfa).