Aritmètica d'ordres quaterniònics i uniformització hiperbòlica de corbes de Shimura

Abstract

[cat] L'estudi dels grups fuchsians i les funcions automorfes associades s'inicià en el segle XIX en els treballs de H. Poincaré, R. Fricke i F. Klein, principalment. A partir dels anys seixanta, al llarg de nombrosos treballs, G. Shimura considerà l'acció de grups fuchsians "F" donats per subgrups d'unitats d'àlgebres de quaternions en el semiplà de Poincaré "H". El quocient F/H s'identifica amb els punts complexos d'una corba algebraica, anomenada corba de Shimura. Si l'àlgebra de quaternions és M(2, Q), en resulten les corbes modulars. Avui dia l'estudi de les corbes de Shimura ha mostrat ser un tema d'interès creixent en teoria de nombres, ja que han esdevingut en els darrers anys una eina clau en l'estudi de problemes aritmètics i en la demostració de resultats importants com ara el teorema de Fermat.

Els tractaments algorítmics de les corbes de Shimura no modulars i de les corbes modulars són essencialment diferents. D'una banda, les corbes de Shimura es defineixen com a espais de moduli de superfícies abelianes, de les quals no se'n té informació numèrica. De l'altra, l'absència d'elements parabòlics en el grup fuchsià permet utilitzar desenvolupaments de Fourier a l'entorn de les puntes per a representar les funcions automorfes associades.

De manera anàloga a la relació entre formes quadràtiques binàries i ordres dels cossos quadràtics, tenim una relació entre formes quadràtiques ternàries i ordres quaterniònics. Aquesta relació ens permet traslladar a un àmbit d'àlgebra no commutativa les necessitats de càlcul en corbes de Shimura. Notem que l'inici de l'estudi dels grups fuchsians en els treballs de Poincaré està lligat a la teoria de les formes quadràtiques. Shimura substituí el llenguatge algebraic de formes quadràtiques pel llenguatge geomètric de varietats abelianes. Així, com a eines algebraiques per a poder calcular hem considerat tant els ordres de les àlgebres de quaternions com les formes quadràtiques. En particular, això ha requerit l'estudi de treballs anteriors i posteriors a Shimura referents a àlgebres de quaternions i formes quadràtiques.

Els principals resultats de la memòria fan referència a l'existència i propietats d'uniformitzacions hiperbòliques de corbes de Shimura, que s'obtenen per mitjà d'un estudi previ de l'aritmètica d'ordres de les àlgebres de quaternions. El model canònic obtingut per Shimura està caracteritzat per uns certs punts, anomenats punts de multiplicació complexa. En la memòria hem determinat aquests punts de manera explícita, a partir d'un conjunt de bijeccions que establim entre: classes d'immersions optimals d'ordres quadràtics imaginaris en ordres quaterniònics, classes de representacions primitives d'enters per formes quadràtiques ternàries enteres, classes de formes quadràtiques binàries de coeficients semi-enters en cossos quadràtics, definides i els punts de multiplicació complexa. Aquest plantejament ens ha portat, en particular, al desenvolupament d'una teoria de classificació de formes quadràtiques binàries per certs subgrups discrets de SL(2,R) diferents del grup modular SL(2,Z).

Paral.lelament hem elaborat el paquet informàtic "Poincare", implementat en MapleV, amb unes 200 instruccions, que manipula els diferents objectes que intervenen al llarg de la memòria: ordres d'àlgebres de quaternions, formes quadràtiques, objectes de geometria hiperbòlica, immersions, punts de les corbes de Shimura, etc. El paquet conté la implementació dels algoritmes obtinguts i permet realitzar càlculs efectius.

El capítol 1 està dedicat a les àlgebres de quaternions i els seus ordres. En el capítol 2 s'introdueixen formalment les corbes de Shimura X(D, N), definides a partir d'un ordre d'Eichler O(D, N). En el capítol 3 donem una uniformització hiperbòlica implementable de les corbes de Shimura per al cas no ramificat, X(, N) = X(o)(N), de nivell N primer.

Els capítols 4, 5 i 6 estan dedicats a les formes quadràtiques obtingudes a partir de les àlgebres de quaternions, especialment les formes nòrmiques quaternària i ternària i el conjunt de formes binàries H(O) associat a un ordre quaterniònic O incluido en H. Donem resultats sobre la relació entre els invariants de l'ordre i les formes quadràtiques associades. A més de l'estudi dels seus invariants, l'aplicació dels conceptes introduïts per H. Brandt ens ha permès arribar a resultats sobre la caracterització de les formes nòrmiques que són K-formes.

En el capítol 7 tractem amb immersions optimals d'ordres de cossos quadràtics en ordres d'àlgebres de quaternions, a partir de l'estudi de les formes quadràtiques associades als ordres. D'una banda, això ens ha permès obtenir resultats sobre formes quadràtiques; d'altra banda, ens ha aportat efectivitat al càlcul d'immersions. Relacionem les immersions de cossos quadràtics en àlgebres de quaternions amb les representacions de formes quadràtiques binàries per formes quaternàries i les representacions de nombres per formes ternàries. Mostrem lligams entre la classificació de les immersions i la de les representacions de nombres per formes ternàries i donem resultats sobre famílies de formes binàries de coeficients semi-enters en un cos quadràtic amb determinant fixat associades als ordres quaterniònics i sobre la seva classificació per subgrups discrets de SL(2, R).

En el capítol 8 estudiem la uniformització hiperbòlica de les corbes de Shimura corresponents a àlgebres de divisió i presentem polígons hiperbòlics explícits que són dominis fonamentals per a corbes de Shimura corresponents a àlgebres poc ramificades. Caracteritzem les homografies quaterniàniques a partir dels resultats d'immersions i formes quadràtiques del capítol anterior, estudiem les homografies el-líptiques i les explicitem per a les àlgebres poc ramificades de tipus A i B. Estudiem també les homografies hiperbòliques que fixen l'infinit i certes simetries, anàlogues a les del cas modular. Així, posem de manifest l'existència d'una homotècia principal que substitueix la translació del cas no ramificat i introduïm les rectes hiperbòliques principals. A continuació, donem pautes per a l'aplicació del mètode dels cercles d'isometria en la construcció de dominis fonamentals. Fem efectiva la construcció de dominis fonamentals, per mitjà de polígons hiperbòlics i en descrivim les característiques. Mostrem també les representacions gràfiques dels dominis fonamentals explicitats, per a les corbes de Shimura X(6, 1), X(10, 1) i X(15, 1), i taules amb els cicles i la presentació dels grups.

En el capítol 9 estudiem els punts de multiplicació complexa de les corbes de Shimura X(D, N) utilitzant els resultats sobre la uniformització hiperbòlica i el tàndem immersions-formes quadràtiques dels capítols anteriors. Considerem un conjunt finit d'ordres quadràtics per als quals hi ha punts de multiplicació complexa especials. En particular, per a les corbes de Shimura corresponents a àlgebres no ramificades i poc ramificades explicitem els resultats anteriors i en donem representacions gràfiques. Més concretament, representem tots els punts de multiplicació complexa especials en els dominis fonamentals de les corbes X(1, N) presentats en el capítol 3 i en els dominis de les corbes X(D, 1) presentats en el capítol 8. Les comandes implementades permeten classificar els ordres per als quals una corba X(D, N) té punts de multiplicació complexa especials, obtenir la llista d'ordres quadràtics de multiplicació complexa especial i calcular els punts de multiplicació complexa per un ordre quadràtic fixat.

[eng] The main results refer to the existence and properties of hyperbolic uniformity of Shimura curves, obtained by a study of the arithmetic of orders in quaternion algebras. The canonical model of Shimura curves is characterized by its complex multiplication points. We determine these points in an explicit way, from a set of bijections we state between: classes of optimal immersions of imaginary quadratic orders in quaternionic orders; classes of primitive representations of integers by integer ternary quadratic forms, and classes of defined binary quadratic forms with semi-integers coefficients in quadratic fields. This approach led us to develop a classification theory of binary quadratic forms by some discrete subgroups of SL(2, R) different from SL(2, Z).

In a parallel way, we elaborated the package "Poincare", implemented in "Maple V", that handle orders in quaternion algebras, quadratic forms, objects from hyperbolic geometry, immersions, points of Shimura curves, etc. The package, with 200 instructions, contains the implementation of the obtained algorithms and allow to do effective calculations.

Chapter 1 deals with quaternion algebras. In the chapter 2, the Shimura curves X(D, N) are formally introduced, from an Eichler order O(D, N). In chapter 3, we give an implementable hyperbolic uniformity in the non ramified case, X(1, N) = X(o)(N), of level "N" prime. Chapters 4, 5 and 6 are devoted to the quaternary and ternary normic forms and the set of binary forms, obtained from quaternion algebras. Chapter 7 deals with optimal immersions of quadratic orders in quaternionic orders. The use of quadratic forms has furnished effectiveness in the calculation of immersions. In chapter 8, we study the hyperbolic uniformity of the Shimura curves corresponding to division algebras and we present explicit hyperbolic polygons that are fundamental domains for some Shimura curves in the ramified case. In chapter 9, we study the complex multiplication points. We consider a finite set of quadratic orders for which there are special complex multiplication points. The implemented commands allow to obtain the list of quadratic orders with special complex multiplication and to compute the complex multiplication points by a fixed quadratic order.