Análisis estadístico multivariante y representación canónica de funciones estimables

Abstract

[spa] Cuando, realizado un análisis de la varianza, el efecto de un factor resulta significativo, para poder tener información sobre las causas de esta significación, se hace necesario conocer la forma en que se diferencian los niveles del factor. Algo parecido podría decirse respecto a las interacciones, con efecto significativo, entre dos o más factores del diseño. El problema, desde un punto de vista general, podría formularse así: dado un diseño multivariante de experimentos, y obtenido un sistema de funciones paramétricas estimables, si son significativamente distintas, ¿cómo se diferencian entre sí? Un primer camino para diferenciar los efectos de un factor (o unas interacciones, o un sistema de funciones paramétricas estimables en general), podría consistir en realizar análisis parciales de la varianza, tomando algunos niveles y prescindiendo de los demás. Esta solución, que exigiría un análisis para cada uno de las posibles combinaciones, es muy engorroso y prácticamente inviable. La utilización de contrastes ortogonales, T-contrastes ó S-contrastes en el caso más general (SCHEFFE, 1959) permite comparar combinaciones lineales de los niveles. Son muy útiles, pero tienen el inconveniente de que exigen la elección de los coeficientes, que puede ser complicado si los tamaños de las muestras de cada una de las celdas del diseño son distintos. Además, su aplicación se limita, en la práctica, a comparar los efectos de un factor principal. Las dificultades y limitaciones de las soluciones anteriores y, en cambio, la sencillez de interpretación que proporciona el análisis canónico de RAO (1952) para representar y diferenciar poblaciones, sugieren la conveniencia de generalizarlo a diseños más complicados, para poder hacer lo mismo con un sistema de funciones paramétricas estimables. En este sentido, el principal objetivo de la presente memoria es la generalización del análisis canónico de poblaciones a un sistema de funciones de funciones paramétricas estimables. Sin embargo, no abordaremos el problema sin antes revisar algunos conceptos del análisis multivariante. Para empezar, y siguiendo a DEMPSTER (1969) emplearemos una notación actualizada que aproveche los recursos del álgebra lineal moderna. Esto nos permitirá, entre otras cosas, exponer de forma algebraica la teoría y estimación de funciones paramétricas, independientemente de cualquier parametrización. Por otra parte, en esta memoria debemos analizar en detalle las relaciones entre la versión algebraica y la versión paramétrica de una función estimable, estableciendo la forma de pasar de una a otra. Además, deseamos obtener, en función de un muestreo, la expresión que optimice la estimación de una función estimable y relacionarla con la estimación que proporciona el teorema de GAUSS-MARKOV. La representación canónica de un sistema de funciones estimables deberá tener las mismas propiedades métricas que el análisis discriminante de RAO (1952). Otro objetivo importante de esta memoria será el obtener una región confidencial exacta (fijando un coeficiente de confianza) para cada función estimable. Finalmente nos proponemos estudiar la representación canónica en el caso de que existan variables concomitantes que influyan en las funciones estimables, y la conexión entre el análisis canónico generalizado y el análisis de coordenadas principales de GOWER (1966).