Mecànica relativista predictiva. Electrodinàmica i lagrangians singulars

Abstract

A la relativitat, a diferència de la mecànica newtoniana, no trobem exemples senzills de sistemes dinàmics de diverses partícules. La formulació covariant Lorentz de les equacions del moviment per a sistemes de partícules en interacció, directament en termes de les variables de les partícules és l'objecte de les teories d'acció a distància. Les dificultats d'aquestes teories consisteixen a que les equacions que donen no són equacions diferencials ordinàries, per a les quals hom no sap formular teoremes d'existència i unicitat ni tampoc cap mètode de solució (ni tan sols numèric). Això mateix passa amb qualsevol teoria de camps.

L'acció a distància instantània té dues branques. Una és la iniciada per Dirac, consistent en buscar una formulació Hamiltoniana utilitzant per a tal fí l'estructura del grup de Poincaré, i demanant que les transformacions d'aquest grup siguin canòniques. L'interès d'una formulació Hamiltoniana rau en que permet de quantificar la teoria fàcilment.

La segona branca, dins de la qual es situa aquest treball és la Mecànica Relativista Predictiva. El punt de partença és mantenir fermament la invariància de les línies d'univers de les partícules i demanar unes equacions del moviment estrictament Newtonianes: acceleracions instantànies en termes de posicions i velocitats instantànies de les partícules.

El fet que la simultaneïtat no sigui un concepte covariant fa que aquest punt de vista sembli inacceptable. No obstant hom demostra que les equacions de tipus newtonià són compatibles amb la invariància sota el grup de Poincaré. Aquest prejudici ha fet que la dinàmica relativista de N partícules no sigui desenvolupada fins molt tard, molt després de la formulació de la relativitat restringida per Einstein.

Podem trobar un. fonament formal per això a l'electrodinàmica mateixa. Eliminant els camps i fent desenvolupaments de Taylor en les càrregues hom arriba a equacions del moviment del tipus Newtonià. La propietat de covariància sota el grup de Lorentz, que tenien les equacions de partença, es manté per tant en la versió derivada instantània (encara que aquesta instantaneitat sigui totalment formal)

Tornant al cas general, la dificultat de la no-covariància de la simultaneïtat rau en que posicions i velocitats que són simultànies en un sistema de referència no ho són en un altra sistema en moviment respecte del primer; i per que la dinàmica en el sistema mòbil tingui la mateixa forma que en el primer sistema considerat, hem de prendre noves posicions i velocitats, desplaçades al llarg de cada línia d'univers de les partícules, tal de que siguin simultànies en el sistema mòbil. Això exigeix integrar les equacions del moviment per obtenir les òrbites. Aquesta situació sembla insuperable.

Però solament ens cal considerar transformacions infinitesimals, perquè tota transformació finita de Poincaré pot ésser descomposta com una seqüència de transformacions infinitesimals.

Així obtenim fàcilment condicions necessàries i suficients que garanteixen la covariància de la dinàmica de tipus Newtonià proposada. En el primer capítol d'aquest treball farem un resum del que és la mecànica relativista predictiva per passar després a aplicar-la al cas de dues partícules en interacció electromagnètica, amb radiació, al capítol 3.

En el camp de les teories d'acció a distància, aquests darrers anys han apaeagut diferents treballs sobre models L~grangians singulars. Un Lagrangià singular és aquell per al qual la matriu Hessiana respecte de les velocitats generalitzades és singular; això fa que hom no pugui aïllar directament les acceleracions a partir de les equacions d'Euler-Lagrange.

La teoria d'aquests sistemes arriba a unes equacions del moviment (a les quals hi apareixen funcions arbitràries), vàlides solament sobre una subvarietat de l'espai de les fases. Els avantatges d'aquestes teories consisteixen en que hom pot desenvolupar un formalisme Hamiltonià que permet de quantificar fàcilment la teoria. Els teoremes de no interacció no es poden aplicar, ja que les posicions de les partícules no són variables canòniques i les equacions del moviment obtingudes són vàlides únicament sobre una subvarietat de l'espai de les fases.

Ara bé, les equacions del moviment que hom deriva d'aquestes teories no són equacions diferencials de segon ordre, ja que contenen funcions arbitràries; a més les condicions inicials no poden ésser qualsevulles, sinò que han de estar sobre la subvarietat abans esmentada. Una altra dificultat es presenta quan escrivim les triacceleracions que s'observen des d'un sistema inercial. Per a alguns sistemes aquestes acceleracions seran instantànies (en el sentit de que venen descrites en termes de posicions i velocitats simultànies de la resta de partícules) mentre que per d'altres no.

Però des del punt de vista de la mecànica relativista predictiva, desitgem que no hi hagi cap observador inercial privilegiat. Així, la segona part d'aquest treball està dedicada a buscar un sistema predictiu que coincideixi amb el sis tema dinàmic que es deriva d'un Lagrangià singular donat. Trobarem condicions generals sota les quals tal cosa és possible, i aplicarem els resultats al model de Dominici-Gomis-Longhi (al capítol 5).

La motivació d'aquests treballs és aprofundir els coneixements de la dinàmica relativista de sistemes de N partícules (des del punt de vista de la Mecànica Predictiva), ja que pensem que part de les dificultats de la Teoria Quàntica de Camps (eliminació d'estats d'energia negativa; impossibilitat de tractar estats lligats i d'altres) tenen origen relativista i no quàntic. Una mostra d'això són els models Lagrangians singulars proposats per explicar la interacció entre els quarks, els quals permeten d'eliminar els estats no físics (norma negativa) i presenten potencials relativistes que permeten d'explicar el confinament dels quarks.