Estudi algebraic de les extensions dels càlculs multivalorats de Lukasiewicz

Abstract

L'objectiu d'aquesta memòria és estudiar, classificar i caracteritzar extensions unitàries del càlcul infinitvalorat de Lukasiewicz. Per mostrar les motivacions que ens han portat a fer aquest treball remarcarem alguns resultats sobre les lògiques i els càlculs multivalorats de Lukasiewicz. Al 1918, Jan Lukasiewicz, en una conferència a la Universitat de Varsòvia, manifesta la necessitat d'obtenir una lògica, lleugerament diferent a la lògica preposicional clàssica, que admeti més de dos valors de veritat. Al 1920 introdueix la lògica trivalorada que més tard, al 1922, generalitza en definir les lògiques n- valents i la lògica infinitvalent. Totes aquestes lògiques estan definides semànticament utilitzant el mètode de les matrius. Hem optat per fer l'estudi algebíaic usant les MV-àlgebres per diverses raons. En primer lloc la presentació és més propera a la presentació clàssica de les àlgebres de Boole. En segon lloc, i tal com detallarem més endavant, les MV-àlgebres estan estretament lligades als grups reticulats abelians, la teoria dels quals ha estat àmpliament estudiada. Per altra banda, la literatura sobre MV-àlgebres és molt extensa i això, sense dubte, simplifica la tasca a l'hora d'emprar propietats de les MV-àlgebres. Finalment, voldríem remarcar que a l'hora d'estudiar quasivarietats de MV-àlgebres, hen fet servir tècniques pertanyents a matèries diferents: per exemple, per obtenir els resultats referents a les varietats hem usat resultats i nocions de Teoria de Models i Teoria de Grups; en el cas de les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples, el Teorema de McNaughton, Topologia lineal "a trossos" i Teoria de Grups; per les quasivarietats n-acotades sobretot hem usat resultats de la pròpia Teoria de MV-àlgebres i d'Àlgebra Universal; i per les quasivarietats congruent distributives Àlgebra Universal i Teoria de Grups Totalment Ordenats. Hem dividit la memòria en quatre parts: Hi ha una primera part de preliminars que inclou un capítol dedicat a Àlgebra Universal i Lògica Algebraica, on el lector no familiaritzat amb aquestes dues matèries hi trobarà algunes nocions i resultats necessaris per seguir aquest treball. El segon capítol està dedicat als càlculs multivalorats de Lukasiewicz. La segona part de la tesi està dedicada íntegrament a les MV-àlgebres. Elcapítol 3 conté la teoria general de MV-àlgebres: àlgebres equivalents, ordre natural, aritmètica, teorema de representació, etc. No es tracta d'un estudi exhaustiu, sinó més aviat d'un recull de nocions i resultats necessaris per l'elaboració de la memòria. Un tractament a part mereix la relació entre els grups abelians reticulats i les MV-àlgebres. En el capítol 4, recordem l'equivalència functorial entre la categoria de les MV-àlgebres i la categoria dels grups abelians reticulats amb unitat forta definida a partir del functor F de Mundici. Al final d'aquesta secció, obtenim els primers resultats originals que ens asseguren, sota certes condicions, la distributivitat dels productes reduïts i ultraproductes respecte de la transformació F i que usarem sovint al llarg del treball. El capítol 5 està dedicat a les MV-cadenes. La importància d'aquestes ve donada pel fet que tota MV-àlgebra és representable com a producte subdirecte de MV-cadenes (teorema 3.30) i que la classe de les MV-cadenes és la classe de les MV-àlgebres finitament subdirectament irreductibles (corol·lari 3.31). La tercera part és la més extensa i la principal de la memòria. Està dedicada a l'estudi de les quasivarietats de MV-àlgebres. En el capítol 6, tractem les varietats i repassem de quina manera havien estat abordades anteriorment. En el capítol 7, estudiem les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples. En el capítol 8, tractem les quasivarietats n-acotades, on demostrem que coincideixen amb les quasivarietats de MV-àlgebres localment finites (teorema 8.7). En el capítol 9, estudiem les quasivarietats congruent distributives. En el capítol 10, estudiem les propietats (R)CEP i EDPC(R) en les quasivarietats tractades. Fem un esquema de les relacions que hi ha entre els diversos tipus de quasivarietats que hem estudiat i finalment, com a resum, donem una taula classificatòria de les seves propietats. . La quarta part és la darrera i conté les conclusions d'aquest treball. En el capítol 11, a partir de la teoria d'algebrització de. sistemes deductius traduïm els resultats algebrals de les quasivarietats estudiades a propietats lògiques. Finalment, a tall d'apèndix, enunciem alguns dels problemes que resten encara oberts i que tenim la intenció d'estudiar en el futur.